☛ * Recherche d'un vecteur normal à un plan

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . Soit  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\)  et  \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 5\\ 3 \\ -1\end{pmatrix}\) deux vecteurs de l'espace.

1. Justifier que les deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires.

2. Déterminer alors les coordonnées d'un vecteur  \(\overrightarrow{n}\)  non nul, orthogonal aux deux vecteurs  \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\) .

Solution

1. Les produits en croix  `(-2)\times 3= -6`  et  \(5\times 1=5\)  sont différents.
Donc les vecteurs  \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\)   ne sont pas colinéaires.

2. On cherche  \(\overrightarrow{n}(a~;~b~;~c)\)  tel que  \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u}=0\)  et  \(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}=0\) .
On résout le système :  \(\begin{cases} -2a+b+2c=0 \\ 5a+3b-c=0 \\ \end{cases}\) .
On décide que le paramètre sera \(a\) et on résout le système ``  :  \(\begin{cases} b+2c=2a \\ 3b-c=-5a \\ \end{cases}\) , d'inconnues \(b\) et \(c\) .
En procédant par combinaison, on obtient : \(7b=-8a\) soit  \(b=-\dfrac87a\) .
On remplace cette valeur dans l'une des deux équations et on obtient :  \(c=\dfrac{11}{7}a\) .
On vérifie que ce couple est bien solution du système.
Les coordonnées de  \(\overrightarrow{n}\)  s'écrivent :  \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ -\dfrac 87a \\ \dfrac{11}{7}a\end{pmatrix}\)  avec  \(a\in\mathbb R\) .
Le vecteur  \(\overrightarrow{n}\)  doit être non nul, donc on doit choisir  \(a\neq 0\) .
On prend, par exemple,  \(a=7\) . On a donc  \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 7\\ -8 \\ 11\end{pmatrix}\) .